高一数学知识点总结

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【篇一:高一数学集合知识点总结

一.知识归纳:

1.集合的有关概念。

1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

4)常用数集:N,Z,Q,R,N*

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集:若对x∈A都有x∈B,则AB(或AB);

2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或,且)

3)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}

4)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}

5)补集:CUA={x|xA但x∈U}

注意:①?A,若A≠?,则?A;

②若,则;

③若且,则A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、并集运算的性质

①A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

二.例题讲解:

【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},则M,N,P满足关系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一:从判断元素的共性与区别入手。

解答一:对于集合M:{x|x=,m∈Z};对于集合N:{x|x=,n∈Z}

对于集合P:{x|x=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P,故选B。励志网http://wWw.qqZf.cN/

分析二:简单列举集合中的元素。

解答二:M={…,…},N={…………},P={…………},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

=∈N,∈N,∴MN,又=M,∴MN,

=P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以选B。

点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。

变式:设集合,则(B)

A.M=NB.MNC.NMD.

解:

当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B

【例2】定义集合A*B={x|x∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为

A)1B)2C)3D)4

分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

解答:∵A*B={x|x∈A且xB},∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。

变式1:已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为

A)5个B)6个C)7个D)8个

变式2:已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A。

解:由已知,集合中必须含有元素a,b。

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}。

评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个。

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答:∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3、

∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

∴∴

变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值。

解:∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1

分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。

解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知【-1,1】B,而(-∞,-2)∩B=ф。

综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

变式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

变式2:设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。

解答:M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

①当时,ax-1=0无解,∴a=0②

综①②得:所求集合为{-1,0,}

【例5】已知集合,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。

分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解,再利用参数分离求解。

解答:(1)若,在内有有解

令当时,

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式:若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

解答:

点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

三。随堂演练

选择

1.下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数

(A)4(B)5(C)6(D)7

2.集合{1,2,3}的真子集共有

(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个

3.集合A={x}B={}C={}又则有

(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一个

4.设A、B是全集U的两个子集,且AB,则下列式子成立的是

(A)CUACUB(B)CUACUB=U

(C)ACUB=(D)CUAB=

5.已知集合A={},B={}则A=

(A)R(B){}

(C){}(D){}

6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为

{1,2,3}或{3,2,1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};(4)集合{}是有限集,正确的是

(A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3)

(C)只有(2)(D)以上语句都不对

7.设S、T是两个非空集合,且ST,TS,令X=S那么S∪X=

(A)X(B)T(C)Φ(D)S

8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式,则不等式ax2+bx+c0的解集为

(A)R(B)(C){}(D){}

填空题

9、在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为

10、若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B,则x=

11、若A={x}B={x},全集U=R,则A=

12、若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是

13设集合A={},B={x},且AB,则实数k的取值范围是。

14、设全集U={x为小于20的非负奇数},若A(CUB)={3,7,15},(CUA)B={13,17,19},又(CUA)(CUB)=,则AB=

解答题

15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3},求实数a。

16(12分)设A=,B=,

其中xR,如果AB=B,求实数a的取值范围。

四。习题答案

选择题

12345678

CCBCBCDD

填空题

9.{(x,y)}10、0,11、{x,或x3}12、{}13、{}14、{1,5,9,11}

解答题

15、a=-1

16、提示:A={0,-4},又AB=B,所以BA

(Ⅰ)B=时,4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1

(Ⅱ)B={0}或B={-4}时,0得a=-1

(Ⅲ)B={0,-4},解得a=1

综上所述实数a=1或a-1

【篇二:2013高一数学知识点总结】

1.集合

2.函数

3.基本初等函数

4.立体几何初步

5.平面解析几何初步

6.基本初等函数

7.平面向量

8.三角恒等变换

9.解三角形

10、数列

11、不等式

1集合

一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元。如(1)阿Q正传中出现的不同汉字(2)全体英文大写字母

集合的分类:

并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}

交集:以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集),记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

差:以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)

注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合

注:空集属于任何集合,但它不属于任何元素。

某些指定的对象集在一起就成为一个集合,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做Φ。

集合的性质:

确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。

互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成{1,1,2},应写成{1,2}。

无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合

集合有以下性质:若A包含于B,则A∩B=A,A∪B=B

常用数集的符号:

(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N

(2)非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作N+(或N*)

(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作Z

(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q

(5)全体实数的集合通常简称实数集,级做R

集合的运算:

1、交换律

A∩B=B∩A

A∪B=B∪A

2、结合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)励志网http://wWw.qqZf.cN/

3、分配律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

例题

已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},且A∩B={-3},求实数a的值.

∵?A∩B={-3}

∴?-3∈B.

①若a-3=-3,则a=0,则A={0,1,-3},B={-3,-1,1}

∴?A∩B={-3,1}与∩B={-3}矛盾,所以a-3≠-3.

②若2a-1=-3,则a=-1,则A={1,0,-3},B={-4,-3,2}

此时A∩B={-3}符合题意,所以a=-1.

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